「suggest that A do」は「Ａは～してはどうかと提案する」という意味の仮定法現在の構文です。イギリス英語では A のあとに should を用いることもあります。do の部分は主語の人称に関わらず動詞の原形です。
I suggest that everybody help in some way.
みんなが何らかの形で手を貸すのがよいと思う。
She suggested that I be the leader.
彼女は私がリーダーになるよう提案した。
Maggie suggested that we have lunch at McDonald's.
マギーはマクドナルドで昼食をとろうと言った。
The chairperson of the department suggested that the conference be postponed indefinitely.
学科の主任教授は会議を無期延期するよう提案した。
He suggested that we ask a lawyer.
彼は弁護士に頼んではどうかと言った。
Professor Smith suggested that we have a coffee break.
スミス教授は私たちに、ひと休みしようと言った。
Patty suggested that we not talk about it any more.
パティは、もうその話はやめようと言った。