「on condition that ～」には「～という条件で」「もし～ならば」という意味があります。
I will do it on condition that you help me.
君が手伝ってくれるなら、それをしよう。
I will sell it on condition that you pay in cash.
現金で支払ってくださるならお売りします。
You can go to the party on condition that you come back by 10 p.m.
午後10時までに帰って来るなら、あなたはそのパーティーに言ってもよい。
You may go out on condition that you return before sunset.
日没前に帰るのなら、あなたは外出してもよい。
He was employed by a college in Fukuoka on condition that he move into the city.
彼は福岡へ引っ越すという条件で福岡にある大学に採用された。
We will make a 5% discount, on condition that you order 200 units or more.
200個以上のご注文をいただけるという条件で、５パーセント割り引きいたします。
I consented to give information on condition that my name would not be used.
私の名を表に出さないという前提で、私は情報を提供することを承諾した。
She promised to marry him on condition that he stop smoking.
彼が禁煙するという条件を付けて、彼女は婚約した。