「get on with ～(物事)」には「（中断したこと）を続ける」「～をどんどんやる」「～がはかどる」という意味があります。「get on with ～(人)」だと「～と仲良くやっていく」という意味になります。
Get on with your job.
仕事を続けなさい。
Okay, team, after the long vacation, let's get on with training.
よし、チームのみんな、長い休暇が終わった。またトレーニングを始めよう。
"Let's get on with the game," she said.
「ゲームを続けましょう」と彼女が言った。
They are getting on very well with their work.
彼らはいい調子で仕事を進めている。
How are you getting on with your English?
英語の進み具合はどうですか。
Get on with it!
さっさとしろよ。