「rest on ～」には「～に基づく」「～次第である」「～を当てにする」「(視線などが)～に向けられる」という意味があります。
I rest on his promise.
私は彼の約束をあてにした。
His argument rested on doubtful facts.
彼の議論は疑わしい事実をもとにしていた。
My eyes rested on the book.
その本に目が留まった。
His theory rests on many facts.
彼の理論は多くの事実に基礎を置いている。
Success rests on your efforts.
成功するか失敗するかは君の努力次第だ。
Science rests on observation.
科学は観察に基礎を置く。
His eyes rested on the rose.
彼はそのバラをじっと見つめた。
Your future rests on your ability.
あなたの未来はあなたの能力にかかっている。
His gaze rested on the beautiful girl.
彼はその美しい少女をじっと見つめた。