「insist that A do」は「Ａは～せよと強く主張する」という意味の仮定法現在の構文です。イギリス英語では A のあとに should を用いることもあります。do の部分は主語の人称に関わらず動詞の原形です。
I insist that you see the doctor.
君はぜひ医者に診てもらいなさい。
She insisted that we stay with them for a couple of days.
彼女はぜひうちに２～３日泊まっていってくださいと言った。
The coach insisted that the quarterback not be replaced by Jim.
コーチはクォーターバックをジムに代えるべきではないと主張した。
Some members insisted that their entrance fee be returned.
何人かの会員が入会金を返すよう要求した。
I insisted that he resign as chairman.
私は彼が議長をやめるよう主張した。
He insisted that I leave.
彼は私が立ち去るよう要求した。
The teacher insists that no one chew gum in class.
教師は授業中ガムをかんではいけないと言う。
We insist that a meeting be held as soon as possible.
我々は会合をできるだけ早急に開くことを要求します。