「try as + 主語 + 助動詞」の語順で「一生懸命やってみたけれども」「どんなにやろうとしても」という譲歩の副詞節になります。文語調で堅い表現です。
Try as he would, he could not solve the problem.
一生懸命やってみたが、彼はその問題を解くことができなかった。
Try as he would, he could not remember her name.
いくら考えても彼は彼女の名前を思い出せなかった。
Try as he would, he could not lift the rock.
彼がどんなにやってみても、その岩を持ち上げられなかった。
Try as she might, she couldn't put on a happy face.
彼女はなんとか楽しそうな顔をしようとしたが、できなかった。
Try as she would, she could never remember a word of what he said.
彼女はどうしても彼の言ったことを一言も思い出せなかった。
Try as she will, she never seems able to do the work satisfactorily.
どんなにやっても、彼女は決して満足にその仕事ができそうにない。
I couldn't read it, try as I would.
どんなにそれを読もうとしても読めなかった。
Try as you may, you will never win first prize.
どんなに頑張っても、君に1等賞はとれないだろう。