「put ～ through to …」は「～の電話を…につなぐ」という意味です。
Please put me through to Mr. Sasaki.
佐々木さんにつないでください。
Could you put me through to Mr. Mori on extension 11, please?
内線11の森さんに電話をつないでください。
Put me through to extension 5132.
内線5132番につないでください。
Could you put me through to the manager?
支配人につないでいただけますか。
Could you put me through to the accounting department, please?
経理部につないでいただけますか。
I'll put you through to the principal.
電話を校長におつなぎします。