「on the point of doing」は「まさに～しようとして」という意味の慣用表現です。
I was on the point of going out when the phone rang.
外出しようとしていると電話が鳴った。
He was on the point of leaving.
彼はまさに出発しようとしていた。
He was rescued just when he was on the point of drowning.
彼は今にも溺れそうなところを救助された。
The train was on the point of starting.
列車は出発しようとしていた。
Our party was on the point of splitting.
我が党は分裂の危機にひんしていた。
I was on the point of getting out when the bus began to move.
降りようとしていた矢先にバスが動き出した。
The film was on the point of starting.
映画が始まるところだった。