「may possibly ～」で「ひょっとしたら～するかもしれない」という意味になり、may だけで使う場合よりさらに可能性が低くなります。
She may possibly come.
彼女はひょっとすると来るかもしれない。
We may possibly win, but on the other hand we may well lose.
私たちはひよっとすると勝つかもしれないが、たぶん負けるだろう。
Although he may possibly pass the driving test, I suspect he may well fall, after all.
彼はひょっとしたら運転免許試験に合格するかもしれないが、やはり落ちる可能性が大きいと思う。
He may possibly be lying.
ひょっとしたら彼はうそを言っているのかもしれない。
It may possibly rain, but it will probably be sunny again.
雨とも考えられるが、たぶんまた晴れだろう。